APLIKASI INTEGRAL TERTENTU

INTEGRAL TERTENTU

Kalau ʃf(x).dx disebut integral tak tentu yang merupakan fungsi F (x) + c yang turunannya = F’(x) = f (x) maka yang dimaksud dengan integral tertentu adalah integral yang mempunyai batas bawah dan batas atas, yang tertulis dalam bentuk

_aʃ^b f(x).dx ; a adalah batas bawah dan b adalah batas atas.

Harga integral ini adalah tertentu yang ditentukan oleh besarnya harga a dan b, yang merupakan selisih antara F (b) dan F (a).

Jadi, _aʃ^b f(x)= [F(x)]^b_a =F(b) – F(a)

Notasi [F(x)]^b_a berarti bahwa pada fungsi F(x), harga x harus diganti dengan harga b dan a, kemudian hitunglah selisih antara F(b) dengan F(a).

Dengan demikian pada perhitungan integral tertentu, kita harus menentukan dulu hasil dari integral tak tentu, tetapi tidak lagi memasukkan faktor konstan c pada perhitungan F(b) – F(a) karena dari selisih F(b) – F(a) faktor c akan hilang.

Contoh:

₂ʃ⁴ (3x²  + 4x – 2).dx = [x³ + 2x² – 2x]⁴₂

                                 = (4³ + 2.4² – 2.4) – (2³ + 2.2² – 2.2)

                                 = 88 – 12 = 76

SIFAT-SIFAT INTEGRAL TERTENTU

1. _aʃ^bf(x).dx = 0

2. _aʃ^bf(x).dx = -_aʃ^bf(x).dx

3. _aʃ^bf(x).dx + _aʃ^cf(x).dx = _aʃ^cf(x).dx

4. _aʃ^b{f(x) + g(x)}.dx = _aʃ^bf(x).dx + _aʃ^bg(x).dx

5. _aʃ^bk.f(x).dx = k._aʃ^bf(x).dx ; (k = bilangan konstan)

APLIKASI INTEGRAL TERTENTU DALAM ILMU EKONOMI

Operasi hitung integral dapat diterapkan dalam persoalan ekonomi, misalnuya dalam integral tak tentu digunakan menghitung fungsi total, dan dalam integral tertentu digunakan untuk menghitung surplus konsumen dan surplus produsen.

Jika diketahui fungsi demand dan supply suatu barang, operasi hitung integral dapat dipakai untuk menghitung surplus konsumen dan surplus produsen pada saat market equilibrium atau pada tingkat harga tertentu.

Jika diketahui fungsi demand dan supply dari suatu jenis barang ialah D: p = f(x) dan S: p = g(x) dan market equilibrium terjadi pada tingkat harga P₀ dan kuantitasnya X₀, seperti yang tertera dalam gambar berikut:

Pada gambar tersebut B adalah titik equilibrium yakni perpotongan kurva D dan S, dimana 0A = X₀ dan 0C = AB = P₀.

1.      Surplus Konsumen

            Konsumen yang mampu atau bersedia membeli barang lebih tinggi (mahal) dari harga equilibrium P₀ akan memperoleh kelebihan (surplus) untuk tiap unit barang yang dibeli dengan harga P₀. Pada saat equilibrium, jumlah total pengeluaran (total expenditure) konsumen = P₀.X₀ yang dalam gambar ini adalah luas empat persegi panjang 0ABC, sedangkan konsumen yang tadinya bersedia membeli barang ini lebih tinggi dari harga P₀ akan menyediakan uang yang banyaknya = luas daerah yang dibatasi kurva demand yang sumbu tegak P, sumbu mendatar X, dan garis ordinat x = x₀ (yakni = luas daerah 0ABF).

            Karena itu, besarnya surplus konsumen pada gambar ini, yakni selisih antara jumlah uang yang disediakan dikurangi dengan jumlah pengeluaran nyata konsumen sehingga surplus konsumen dapat dinyatakan sebagai berikut:

            SK = Luas 0ABF – Luas 0ABC = Luas daerah CBF = _oʃ^xof(x).dx – P₀.X₀

Jika dari fungsi demand p = f(x) maka hasil dari ₀ʃ^af(x).dx adalah jumlah uang yang disediakan.

2.      Surplus Produsen

            Surplus produsen adalah selisih antara hasil penjualan barang dengan jumlah penerimaan yang direncanakan produsen dalam penjualan sejumlah barang. Pada saat harga terjadi price equilibrium P₀ maka penjual barang yang bersedia menjual barang ini dibawah harga p_o akan memperoleh kelebihan harga jual untuk tiap unit barang yang terjual yakni selisih antara p_o dengan harga kurang dari p_o.

Sedangkan, pada saat equilibrium, penjual barang ini akan menerima hasil penjualan barang sejumlah P₀ . X₀ yang dalam gambar adalah luas empat persegi panjang 0ABC, sedangkan sebenarnya penjual barang ini bersedia menerima sejumlah uang yang banyaknya = luas daerah yang dibatasi kurva supply dengan sumbu P, sumbu X dan garis ordinat x = x_o (yakni luas daerah 0ABE), maka penjual barang ini akan memperoleh surplus produsen (penjual) sebanyak berikut ini.

           

            SP = Luas 0ABC – Luas daerah 0ABE = P₀.X₀ - _oʃ^xcg(x).dx

CONTOH SOAL

Diketahui fungsi permintaan dan penawaran

D: p = -¹/₂ x² – ¹/₂ x + 33

S: p = 6 + x

Dapatkan besarnya surplus konsumen pada saat terjadi markwt equilibrium (ME).

Penyelesaian:

ME terjadi pada saat D = S

-¹/₂ x² – ¹/₂ x + 33 = 6 + x

-¹/₂ x² – 1¹/₂ x + 27 = 0

X² + 3x – 54 = (x + 9) (x – 6) = 0

Jadi, kuantitas equilibrium x_o = 6 unit price equilibrium p_o = 6 + 6 = 12 satuan rupiah.

Karena market equilibrium terjadi pada x_o = 6 dan p_o = 12 maka;

SK = ₀ʃ⁶(-¹/₂ x² – ¹/₂ x + 33).dx – 12.6

       = [-¹/₆ x³ – ¹/₄ x² + 33x]⁶₀

         = (-¹/₆ 6³ – ¹/₄ 6² + 33.6) – (0) – 12.6

       = (-36 – 9 + 198) – 72

       = 81

Angka itu adalah selisih antara jumlah uang yang disediakan konsumen dengan jumlah uang yang dibelanjakan. Berdasarkan contoh diatas, surplus produsen adalah

SP = 12.6 - ₀ʃ⁶ (6 + x)dx

       = 72 – [6x + ¹/₂ x²]⁶₀

       = 72 – ((6.6 + ¹/₂ 6²)-0)

       = 72 – 54

       = 18

 Sekian penjelasan singkat tentang integral tertentu,semoga ini bisa menambah wawasan sobat engineer dalam mengerkajan tugas kalkulusnya ^_^ dan jangan lupa selalu berkunjung di we are ENGINEER yaaa, Blog yang menyajikan baebagai macam ilmu pengetahuan.